一般化パレート分布の平均と分散をレベルセットを使って計算する

数理統計

積分の計算をレベルセットの積分に変形する公式として, Layer Cake Representation が知られている. Layer Cake Representation 定理 1. (Layer Cake Representation) を非負実数直線上のBorel 集合族の上の測度とし, 単調増大関数 \begin{equation}\label{…

2018-09-25

【ベイズ推論】多次元ガウス分布の平均・分散についてのベイズ推論

数理統計ベイズ統計

前回記事では行列ガンマ分布とその規格化定数の計算方法を紹介しました. wakabame.hatenablog.com今回はその応用として, 多次元のガンマ分布を観測モデルとするベイズ推論を行いましょう. ウィシャート分布を行列ガンマ分布を用いて定義しよう次の行列ガン…

2018-08-26

行列ガンマ分布の規格化定数の計算方法について

数理統計

多次元ガウス分布の精度行列のベイズ推論を行う際にあらわれる行列ガンマ分布： \begin{align*} \textrm{MGam}(\Lambda|a,B) &= C(a,B) |\Lambda|^{a-1}\exp\{-\langle B, \Lambda\rangle\} \end{align*} の規格化定数 \begin{align*} C(a,B)^{-1} &= \int_{…

2018-08-19

【ベイズ推論】一次元ガウス分布の平均・分散についてのベイズ推論の意味

ベイズ統計数理統計

前回記事では, 一次元ガウス分布を観測モデルに持つようなベイズ推論を行うために, 事前分布はパラメータにより, \begin{align*} p(\lambda|v ) &= z(v)\exp\left\{v_1\ln{\lambda} -v_2\lambda +v_3\lambda\mu -\dfrac{v_4}{2}\lambda\mu^2 \right\},\\ z(…

2018-08-18

【ベイズ推論】一次元ガウス分布の平均・分散についてのベイズ推論の公式

ベイズ統計数理統計

正規分布についてのベイズ推論を考えましょう. 母数がつになることに気をつけましょう. 平均 , 精度がともに未知の一次元ガウス分布を考えます. \begin{equation} N(x|\mu,\lambda^{-1}) = \sqrt{\dfrac{1}{2\pi}}\exp\left\{ \dfrac12\ln{\lambda} -\dfra…